Controlling fragment size distribution for modelling the breakage of multi-sphere particles (Open Access)
Chao Zhang（张超）, Connor O'Shaughnessy, Sadaf Maramizonouz, Vasileios Angelidakis, Sadegh Nadimi*
Keywords: Fragment size distribution; Cluster of spheres; Particle volume; Particle size; Particle shape
DOI: 10.1016/j.partic.2025.01.014
Voro-Pack是一款开源代码，可用于将真实颗粒重构为由多个球形碎片组成的团簇并控制其尺寸分布，从而实现基于实验的碎片尺寸分布（FSD）。本研究采用两种类型的硅砂来评估该代码的性能，其中FSD数据通过激光衍射和筛分获得，而颗粒形状信息通过微型计算机断层扫描（Micro-CT）获取。研究发现，由该代码生成的多球聚簇的颗粒尺寸和形状与真实颗粒高度一致。而且，当采用激光衍射数据作为输入时，多球聚簇中的碎片尺寸与实际FSD数据的匹配度更高，相较于筛分数据更准确。多球聚簇的体积比（即多球聚簇的体积与真实颗粒体积之比）是影响碎片尺寸分布的关键因素。当体积比超过0.5并接近1.0时，生成的碎片尺寸分布更接近实际FSD数据。此外，颗粒形态特征对代码生成的FSD数据影响不大。研究结果表明，Voro-Pack代码是一种有效的工具，可用于重构不同形态颗粒的多球聚簇，并为颗粒材料破碎建模提供有价值的见解。
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研究亮点
（1）基于颗粒破碎的实验信息，利用Python开发了控制颗粒破碎后碎片尺寸分布的开源代码Voro-Pack。
（2）Voro-Pack代码生成的多球体簇与真实颗粒的体积之比是影响代码生成的多球体集群中碎片尺寸分布的关键因素；此外，颗粒形状对生成的多球体簇的碎片尺寸分布的影响并不明显。
（3）与筛分法相比，通过激光衍射方法得到的颗粒破碎后碎片的尺寸分布数据能更好地匹配多球体簇中的碎片尺寸。
研究背景和方法
Voro-Pack代码的开发旨在解决传统离散元方法（DEM）在模拟颗粒材料破碎与碎片化时的局限性。颗粒材料广泛应用于食品、制药、交通、铁路和电池等行业，但在高应力作用下容易破碎，导致颗粒尺寸和形状分布发生改变。传统的DEM建模方法通常会假设颗粒为刚性球形，难以准确再现真实颗粒的非球形特征以及其破碎行为。此外，现有方法如颗粒替换法（PRM）和粘结颗粒模型（BPM）在碎片尺寸分布（FSD）控制和计算效率方面存在不足。因此，Voro-Pack采用Voronoi松弛算法，通过计算几何方法生成多球聚簇，以高效、精确地重构非球形颗粒，并实现实验驱动的FSD控制，从而为DEM建模提供更准确的颗粒破碎与碎片化模拟工具。
1. Laguerre-Voronoi图
Laguerre-Voronoi图，作为传统Voronoi图的一种加权变体，通过给每个生成点分配一个权重来调整其影响范围。Laguerre-Voronoi图通过幂距离（power distance）来决定点到生成点的“接近度”，从而改变单元的大小和形状。幂距离由欧几里得距离和生成点的权重共同决定，较大的权重会扩大对应的单元，而较小的权重会缩小单元。Laguerre-Voronoi图可以更灵活地模拟现实中不均匀分布的影响力，例如粒子间的层状或嵌套关系。其特性使其适用于模拟颗粒材料的破碎与分布，特别是在需要控制FSD时，提供更合理的空间划分方式。
图1.（a）由随机分配单元权重的24个生成点组成的Laguerre-Voronoi图；（b）Laguerre-Voronoi的放大图，其中突出显示了一个生成点子集，其相应权重(wi)以圆圈表示
2. Voronoi松弛算法
Voronoi松弛是一种优化Voronoi图的方法，通过迭代调整生成点的位置，使Voronoi单元更加均匀和分布合理。Lloyd算法作为最常用的Voronoi松弛技术，通过计算每个Voronoi单元的质心，并将生成点逐步移动到其单元的质心位置，以优化整体空间划分。这个过程不断迭代，直到生成点的位置稳定，最终形成质心Voronoi图（CVD）。该优化过程可以通过能量函数来衡量收敛程度，能量函数随着生成点位移的减少而下降，表明系统正在逐步趋于稳定。
图2.（a）完成50次迭代后的Voronoi图；（b）Lloyd算法中能量函数γ曲线
要点精读
1. 基于激光衍射数据的颗粒建模精度与碎片尺寸分布一致性
本文研究发现，基于激光衍射数据生成的多球聚簇颗粒，其碎片尺寸分布（FSD）与实际砂粒的FSD具有高度一致性。分析结果表明，Voro-Pack代码在大多数样本中能够准确再现FSD数据，表现出较高的R2值和较低的RMSE值，说明其预测碎片尺寸分布的误差较小。总体来看，基于Voro-Pack代码的多球聚簇建模方法不仅能够有效再现砂粒的几何形态和尺寸分布，还能准确捕捉实验数据的整体趋势，为基于DEM的颗粒破碎模拟提供了可靠的建模工具。
图3. 第一种类型沙粒（a）代码预测的碎片大小分布数据与激光衍射数据的比较；（b）真实沙粒与代码生成的沙粒几何形状比较
2、颗粒体积对其重构的多球体簇中碎片尺寸分布精度的影响
为了量化多球体簇体积对重构精度的影响，本文采用体积比（多球体簇体积/实际砂粒体积）作为衡量指标。研究发现，体积比越大，R2值越高，RMSE值越低，说明当多球体簇体积接近实际砂粒时，其碎片尺寸分布与激光衍射数据的匹配度更高。值得注意的是，当体积比超过0.5，碎片尺寸的误差显著减少，且大部分砂粒的体积比集中在0.5~0.7范围内。
图4. 多球体簇体积与真实沙粒体积之比与拟合指标之间的关系图（散点图）：（a）R2；（b）RMSE
3、颗粒形态特征对其重构的多球体簇中碎片尺寸分布精度的影响
本文研究了球形度（S）、伸长率（El）、扁平度（Fl）、紧实度（Co）和凸度（Cx）五种颗粒形态特征对多球聚簇碎片尺寸分布的影响。结果表明，尽管颗粒形态特征在不同样本之间存在差异，但对R2和RMSE值的直接影响不显著，说明Voro-Pack代码在生成多球体簇时并不受限于颗粒形态。然而，极端情况下，如凸度（Cx）差异较大的样本，其碎片尺寸分布可能偏离实际FSD数据，尤其是大尺寸碎片的匹配度下降。
图5. 凸度对多球体簇与真实颗粒的体积比与（a）R2和（b）RMSE值之间的关系图（散点图）；（c）代码生成的沙粒的对应多球体簇中碎片大小与实际FSD数据的比较
结论
本文开发了一款开源代码Voro-Pack，旨在在颗粒破碎过程中实现更理想的碎片尺寸分布。基于激光衍射或筛分数据以及μCT扫描的颗粒几何信息，该代码生成的多球簇碎片尺寸与实际碎片尺寸分布数据高度匹配。此外，当多球簇的体积比大于 0.5 并接近 1.0 时，碎片尺寸匹配度更高，强调了体积守恒的重要性，未来将引入重叠概念以进一步优化重构效果。此外，研究还发现，颗粒形态特征对多球簇碎片的尺寸分布没有明显影响，表明该方法适用于不同形态的颗粒。体积守恒可通过调整方法中的第五步来扩展修剪区域，以提高碎片尺寸匹配度，但修剪程度需根据具体应用由用户自行设定。
通讯作者简介
Dr. Sadegh Nadimi，英国纽卡斯尔大学副教授，博士生导师，研究工作主要集中在颗粒间及颗粒与结构接触间界面过程、颗粒表征、基于图像的表征技术（如X射线断层扫描、粒子图像测速和数字图像相关）以及颗粒材料的多尺度计算建模等。发表第一/通讯SCI论文27篇。合作撰写专著1本，申请并授权多项国际发明专利。Nadimi博士是英国物理学会会员（IOP）和英国岩土工程协会会员（BGA），自2021年起成为英国工程与物理科学研究委员会（EPSRC）评审专家库成员。主持和参与了EPSRC，Royal Society Research Grant, Northern Accelerator等项目。担任Géotechnique副主编，Soils and Foundations和Scientific Data编委，自2022年起成为Particuology的青年编委。
供稿：原文作者
编辑：《颗粒学报》编辑部
文章信息
Zhang, C., O'Shaughnessy, C., Maramizonouz, S., Angelidakis, V., & Nadimi, S. (2025). Controlling fragment size distribution for modelling the breakage of multi-sphere particles. Particuology, 98, 105-116. https://doi.org/10.1016/j.partic.2025.01.014.