On scaling laws of fast-fluidized-bed dynamics: Critical remarks and final solution (Open Access)
章明川*
Keywords: Fast bed; Scaleup laws; Ar number; Mesoscale similarity; Macroscale similarity; CFB combustor
DOI: 10.1016/j.partic.2025.04.004
阿基米德数（Ar）是涉及流体-颗粒两相流系统最重要的一个特征参数，它决定了颗粒的终端速度与最小流化速度比值（ut/umf）的大小，从而成为决定浓-稀两相共存的快速床系统是否可能完全相似的前提条件。作者先简略回顾文献已有的相似准则，并指出遗漏Ar数的准则数群在相似放大中可能出现的问题和局限性。随后，从Glicksman的 “全套5参数” 相似准则出发，推导出一套新的介观相似4参数准则。按此新准则，以冷态空气模型模拟一台高温CFB燃烧室时，仅因流化介质特性变化即可得到约10倍的半自发放大。针对采用相同颗粒和流化介质的快速床，详细推导了保持部分/宏观相似的2参数相似放大准则，并进行了数值验证。
近日，上海交通大学章明川教授在PARTICUOLOGY（Volume 102）发表了有关快速流化床相似准则的研究成果。该文已OA，欢迎感兴趣的读者扫描下方二维码，或者点击文末“阅读原文”进入ScienceDirect官网阅读、下载！
亮点
（1）以扩展的Richardson-Zaki方程取代Wen & Yu速度-空隙率关系式，得到特征速度比ut/umf为Ar数单一函数的结论，从而证明ut/umf = idem与Ar = idem具有完全的等价性。
（2）推导了重构Yang公式中无因次过余气速的指数α随Ar数变化的半理论关系式，准确反映了颗粒由细/轻（Geldart A类颗粒）向粗/重（Geldart B类、D类颗粒）的转变对快速床流动特性的影响。
研究背景
快速流化床流体动力特性的实验研究，基本上都是在直径很小的提升管中、以室温空气为流化介质所完成的。研究得到的半经验公式能否在大型工业装置中应用，一直是被怀疑以及希望被解决的问题。因此，对物理模型放大、相似准则的研究，引起研究人员的高度重视。上世纪90年代初，美国MIT的Glicksman教授及合作者通过对两相流动量方程进行无因次化处理的理论方法，导出了全套5参数的相似准则。在得到详细的实验验证后，这一理论推导结果被接受为该领域的经典。
考虑到全套5参数相似准则在实际工程应用中实施的难度，Glicksman等人又将其简化为一组4参数相似准则，并被人们广泛接受和应用。另外，日本东京农工大学的Horio教授及合作者，根据提出的团聚物环流模型，也推导了一组4参数的相似准则。上述两组4参数相似准则的唯一区别是，无因次化操作气速所用的基准速度不同：Glicksman用的是最小流化速度（umf），而Horio用的是终端速度（ut）。
然而，随着Ar数的增大，这两个基准速度之比（ut/umf）可以从90左右下降到10左右 (Richardson, 1971)，变化幅度将近一个数量级。由此，在Ar数未被包括在相似准则之内的情况下，上述两组准则不可能都完全准确，必然还存在一定问题和应用局限。基于这些问题，作者开展了本课题的研究。
要点精读
1. 4参数介观相似准则与Glicksman简化准则的本质区别
本文推导的4参数介观相似准则为：
或
，因为Ar = idem确保了ut/umf =idem；而Glicksman的简化4参数相似准则为：
。相比较，除了前一准则用Ar替代了后者的ρs/ρf外，其它三项完全一致，那么，系统匹配到底有多大差别呢？答案是：前者匹配了ut/umf，也就匹配了uf/ut；而后者匹配了 uf/umf，却在用1/4和1/16冷态模型模化一台2.5 MWth增压流化床锅炉燃烧室原型时，引起uf/ut最大相对误差可达40%和100%（Glicksman et al., 1993）。
什么原因会造成如此巨大的差别呢？文中对此做了详细的讨论。从Glicksman的全套5参数相似准则，可以等价地变换为一套同时包含Ar数和dp/Dt的5参数相似准则：
。
其中，Ar数确保了流化系统介观相似的必要条件ut/umf = idem，在此基础上增加dp/Dt确保了微观相似的必要条件。因此，当准则数群去除dp/Dt时放弃的只是微观相似，而介观相似仍能得以保持。相反，如果直接从与Glicksman全套5参数相似准则完全等价的
中直接删除dp/Dt，得到简化的4参数准则，则不仅放弃了微观相似的可能性，同时也丧失了介观相似的可能性。因为在此准则中介观相似的前提条件需由ρs/ρf = idem和dp/Dt = idem二者共同来完成。
2. 相同颗粒与流化介质快速床相似的2参数准则的推导及其与Qi & Zhu经验修正式的比较
用相同的颗粒与流化介质进行快速床反应器的放大，将为实际工程应用带来极大方便，特别是对具有宽筛分特性的床料颗粒。文中详细推导了如何以A型噎塞下的固含率及上部稀相固含率不变为条件，分别确定操作气速uf和颗粒循环流率Gs的方法（参见图中右上角和左下角）。
文中还引用Qi & Zhu（Qi et al, 2008）将无因次颗粒流率Gs/ρsuf修正为
的研究成果，作为对本文提出的2参数相似准则的文献支持。因为除了颗粒特性变化等引起一些较小的差别外，两者关于提升管直径变化对颗粒流率Gs放大的要求几乎完全一致。然而，Qi & Zhu的修正公式并没有规定提升管径Dt变化时操作气速应遵循的匹配要求。因此，仅以上部稀相区固含率不变为单一条件的颗粒流率修正式，用于快速流化床相似放大是不充分的。实际上，该文提到的介观相似的各种实验验证也仅发生在各自相同的流化系统上，或者换言之，它仅适用于放大倍率SD= 1的特定情况。
本文在推导过程中也指出，由于相似准则的进一步简化，相似的范畴也从介观相似降为宏观相似，此时能够确保不变的只有上部稀相区的固含率。然而反过来讲，这并没有完全否定在模型中观察所得到介观现象的应用价值。依据Qi & Zhu的研究，可以合理地推测：只要放大倍率SD不是太大的情况下，这些介观数据仍有较高的参考意义，特别是当无因次操作气速uf/ut足够高时（参见图中右下角）。据此推论，该2参数相似准则可以在4参数介观相似放大中因颗粒密度ρs不能精确匹配时，作为一种辅助的微调手段来使用。
主要结论
（1）由于快速流化床颗粒团聚物与分散稀相共存的特殊性质，为保证浓-稀两相能够同时准确模化，特征速度比ut/umf必需保持不变。因此，无论是显式还是隐式，Ar数必需被包括在相似放大的无因次准则数群中。
（2）Glicksman及合作者在将全套5参数的快速床相似准则简化为4参数的过程中，不恰当地删除了无因次粒径比dp/Dt。在dp/Dt缺席的情况下，仅匹配uf/umf不能确保上升稀相中颗粒所受曳力的相似，除非Ar数或与其等价的uf/umf保持不变。
（3） 从Glicksman全套5参数快速床相似准则出发，详细推导了一套新的介观相似4参数准则数群，即
或
。这一相似准则，得到本文作者及合作者开发的“快速流化床动力学统一模型”的进一步佐证。
（4）当4参数相似准则用于高温CFB燃烧室的冷态空气模化时，由于流化介质特性的变化即可获得将近10倍的半自发放大。用1/20的冷态空气模型模化一台等效直径15 m的CFB燃烧室的模拟示范表明，所有介观特性参数的相对误差均低于8%。
（5）对于使用同样颗粒和流化介质的快速床，还推导了部分/宏观相似的2参数准则，即
。其中，后一准则数获得来自Qi & Zhu由大量实验数据归纳得到的颗粒流率修正式的很好佐证。
参考文献
Richardson, J.F. (1971). In: J.F. Davidson and D. Harrison (Eds.), Fluidization (Chapter 1). Academic Press, London.
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作者简介
章明川，1944年生。清华大学工学博士（1991.4），MIT访问学者（1981.3–1983.12）。上海交通大学机械与动力工程学院教授、博士生导师。研究领域包括：煤的热解与燃烧反应动力学、气-固两相流与流态化工程、计算燃烧学与炉内过程数值模拟、燃煤污染物排放控制、液体雾化与喷雾等。获国家科技进步二、三等奖2项、省部级科技进步一、二等奖8项。1993年起享受国务院颁发的‘政府特殊津贴’。2023年获国际煤燃烧学术会议颁发的‘杰出贡献奖’。曾担任中国电机工程学会、上海市工程热物理学会、上海市能源研究会理事，华中科技大学煤燃烧国家重点实验室、中国科学与技术大学火灾科学国家重点实验室、浙江大学能源清洁利用国家重点实验室学术委员会委员；Frontiers of Energy and Power Engineering in China、《燃烧科学与技术》、《锅炉技术》、《火灾科学》、《能源技术》、《能源研究与信息》等期刊编委会委员。
供稿：原文作者
编辑：《颗粒学报》编辑部
文章信息
Zhang, M.-C. (2025). On scaling laws of fast-fluidized-bed dynamics: Critical remarks and final solution. Particuology, 102, 53-69. https://doi.org/10.1016/j.partic.2025.04.004.