Efficient numerical method for solving multidimensional population balance equations in batch cooling crystallization
李川，刁子木，成永燕，单宝明，徐啟蕾*，王学重，张方坤*
Keywords: Population balance equation; Crystallization; High-order compact difference; Numerical dissipation; Alternating direction implicit method
DOI: 10.1016/j.partic.2026.01.024
针对间歇冷却结晶过程中多维种群平衡方程（PBEs）求解难、计算耗时长的问题，团队创新性地提出了一种高阶紧致交替方向隐式（HOC-ADI）数值求解策略。该方法在保证极低误差的同时实现了计算速度的数量级提升，为工业结晶过程的高保真模拟提供了高效的数学工具。
相关研究成果发表于PARTICUOLOGY（Volume 110），欢迎感兴趣的读者扫描下方二维码或者点击文末“阅读原文”进入ScienceDirect官网阅读、下载！
亮点
1. 突破稳定性瓶颈：传统显式格式受限于Courant-Friedrichs-Lewy条件，在高生长速率区必须采用极小的时间步长。高阶紧致交替方向隐式（HOC-ADI）方法利用其无条件稳定性优势，允许采用比显式格式大得多的时间步长，在保证精度的前提下显著减少了迭代步数。
2. “零”耗散的尖峰分辨率：在捕捉成核形成的窄峰信号时，HOC-ADI避免了传统通量限制器常见的数值耗散现象。本文提出的方法能完美复现尖锐的成核峰，避免了具有代表性对比方法中峰值严重被“削平”或展宽的现象。
3. 计算效率的数量级飞跃：在同等计算资源下，本文提出的HOC-ADI方法其计算速度比高分辨率有限体积法（HR-FVM）快10倍以上；在同等网格规模下，其最大绝对误差比HR-FVM等对比方法低2-3个数量级，成功实现了“高精度”与“低成本”的深度统一。
研究背景
结晶作为制药、化工及新材料领域的关键单元操作，其核心目标是实现对晶体粒度分布（CSD）的精准调控，以确保产品的最终质量与性能。在实际生产场景中，晶体生长往往表现出显著的各向异性（如针状或片状形态），使研究者必须采用复杂的二维种群平衡方程（2D-PBEs）来描述晶体形态的动力学演变。然而，2D-PBEs的数值求解面临着巨大的挑战：一方面，沿两个轴向的耦合生长导致了高维对流问题；另一方面，成核事件在零尺寸附近引发的强刚性以及瞬态过程中形成的陡峭梯度，极易导致传统算法产生严重的数值耗散或非物理振荡。虽然现有的矩量法计算效率较高，但会丢失详细的分布信息，而特征线法和蒙特卡洛法则分别受限于计算成本过高与统计噪声难以消除。因此，开发一种兼顾高精度、高效率与物理保真度的数值方法，成为解决这一工程难题的关键。
要点精读
1. 高阶紧致交替方向隐式法（HOC-ADI）的提出
本文提出了一种创新的HOC-ADI算法，其核心在于通过算子分裂与降维策略，将复杂的多维算子分解为一维三对角系统。具体而言，将二维算子定义为隐式算子与显式算子的组合：
1）隐式算子：
2）显示算子：
这种处理不仅降低了计算维度，还允许并行化的实现，显著提升了大规模网格下的求解速度，克服了多维问题带来的“计算诅咒”。
图1. 二维PBE求解的高阶ADI法（3个时间步）的三维示意图
2. 时空四阶精度的实现与数值耗散抑制
为了提升计算分辨率，在空间离散上采用了高阶紧致差分格式，仅需3个网格点即可达到四阶精度。而且，结合ADI时间积分，使算法在时空维度均达到O (∆t4, ∆x4, ∆y4)的超收敛精度。相比传统二阶方法，该格式能以更精简的网格显著抑制数值耗散，精准刻画分布函数的演化细节。
表1. 不同晶格尺寸下考虑晶体尺寸依赖性生长的不同方法精度比较
3. 刚性成核项捕捉与多场景下的鲁棒性
针对结晶过程中零尺寸附近的强刚性成核问题，本文引入局部Dirac delta函数近似法，有效解决了边界条件的突变难题，确保了质量守恒。通过纯生长、成核-生长耦合等四个复杂算例验证，证明该方法在处理平滑分布及瞬态尖峰时均具有极高的稳定性与鲁棒性。
图 2. 在N=100、τ=2 s条件下，增加成核源项（案例3）后，在晶体尺寸无关条件下不同方法的结果比较: (a) HR法；(b) HOCD法；(c) HOC-ADI法
主要结论与展望
本研究提出的高阶紧致交替方向隐式（HOC-ADI）方法成功解决了二维结晶过程建模中“高精度”与“高效率”难以兼得的难题。通过算子分裂与高阶紧致格式的结合，该方法在处理刚性成核与多维生长耦合时表现出卓越的性能，不仅显著降低了计算成本，还极大地提升了对微观晶体粒度分布的解析能力，这为未来复杂工业结晶过程的模型预测控制及工艺优化奠定了坚实的算法基础。
作者简介
张方坤，青岛科技大学副教授，山东省优秀研究生指导老师，研究工作围绕推动化工分离（精馏、结晶）过程数字化、智能化及工业化开展。以第一作者/通讯作者发表SCI论文60余篇，40余篇发表在化工学会推荐T1类期刊/自动化学会推荐A类期刊。申请及授权国家发明专利20余项，授权美国发明专利1项。主持国家自然科学基金青年项目、省自然科学基金青年及面上项目，企业横向课题多项。获2025年自动化学会科技进步一等奖、2021年青岛市科技进步一等奖。
徐啟蕾，青岛科技大学副教授，硕士生导师，研究工作围绕流程工业智能控制与优化、机器视觉与目标跟踪。发表SCI收录论文50余篇，授权国家发明专利10余项。主持完成基于物联网的生物质燃料智能加热炉的研制，参与完成基于机器视觉的禽蛋品质检测装置开发、垃圾焚烧炉火焰检测图像处理系统开发、10000吨/年布洛芬技改粗品连续化控制系统设计与关键控制算法研究、阿司匹林连续化控制系统设计与关键控制算法研究等企业合作开发横向项目多项。
单宝明，青岛科技大学教授，硕士生导师，研究工作围绕工业过程建模控制与优化、故障诊断与软测量技术、机器视觉、嵌入式系统展开，在自动化工程技术领域积累了丰富的经验。以第一或通讯作者发表SCI论文40余篇，申请发明专利20余项，获省部级奖励多项。主持完成“1万吨/年粗品连续化控制系统设计与关键控制算法研究”、“阿司匹林连续化控制系统设计与关键控制算法研究”、“某原料药连续化控制系统设计与关键控制算法研究”等产学研项目多项，横向经费超千万。
供稿：原文作者
排版：《颗粒学报》编辑部
文章信息
Li, C., Diao, Z., Cheng, Y., Shan, B., Xu, Q., Wang, X., & Zhang, F. (2026). Efficient numerical method for solving multidimensional population balance equations in batch cooling crystallization. Particuology, 110, 310-319. https://doi.org/10.1016/j.partic.2026.01.024